为什么每个人的头发都有“旋”？这门数学可能藏着物理世界最深刻的真相

数学是人类心灵活动的产物，

做数学研究，

就是为了探索人类思维的极限。

苏阳· 中国科学院数学与系统科学研究院研究员

大家好，我是来自中国科学院数学与系统科学研究院的苏阳。今天我给大家带来的演讲有关一个数学的分支——拓扑学。

说到数学，可能大家的第一感觉是，这是一门有点难的学科，里面有很多非常难算的题，特别是平面几何里边的题。如果有道题是求图形的面积，那可能大家做着做着就会变成求做题人的心理阴影面积了。

但我还好。我在中学阶段数学学得还可以，而且我觉得数学是一门很有意思的学科，里面有很多很神奇的东西吸引着我。所以到了大学之后，我进入数学系继续深造。

在大学前两年，我学了一些很基本的课程，包括数学分析、线性代数、微分几何、概率论等等。我学得也都还可以，但是始终没有一门功课让我感到大有启发，使我眼前一亮，直到我大学第3年时上到了拓扑学的课程。

左边是我们当时给我们上课的老师，北京大学数学系的尤承业教授。他是一位非常和蔼且博学的老师，在课上对我们谆谆教导，引领我们进入拓扑学的大门。他的课非常好，让我感到很有启发。

我觉得拓扑学和其他的数学的分支有点差别：在于拓扑学往往不需要你做特别复杂的计算。最起码对于我当时的认知程度来说，它不需要做特别复杂的计算，而更需要一些非常巧妙的观察。然后把这些数学概念组织在一起进行推理，就可以得到一些非常深刻且非常有意思的结果。

从7座桥开始的拓扑学

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我们先来举一个例子，一个历史上非常经典的例子，大家可能听说过，就是哥尼斯堡七桥问题。

这个问题是这样的。这是大概17或18世纪时的哥尼斯堡，一个在波罗的海海边的小城。这个小城中有几条河流穿过，人们为了交通方便，就在河上修了7座桥。我们用绿色把这7座桥标记出来了。

当时这7座桥中有2座一直保留到了现在，这是其中1座的照片。

大家在日常生活中都会散步，那在哥尼斯堡散步的人里就有人提出来，说我们试试，能不能一次不重复地把这7座桥都走一遍。然后很多人都去尝试了，但是一直没有人成功。所以这个问题渐渐地就变成了一个难题，慢慢流传开了。

那到底怎样才能把这七座桥都走遍呢？这个难题最后引起了大数学家欧拉的关注。

欧拉用了一个非常数学的方式处理了这个问题。他把这个问题抽象了出来，所以我们就看到了这样一个简图。绿色的就是陆地，黄色的就是桥。

那我们可以再进一步做抽象，把陆地用点来表示，那2块陆地之间如果有1座桥连接的话，我就在两个点之间连一条线，用来表示桥。这样就把原来的地图问题完全抽象成了一个由点和线构成的图形问题了。现在这个问题就变成了，我能不能从1个点出发，然后一次不重复地把图上7条边都走下来呢？

接下来，我们就可以做一些非常简单的观察。这里有一个非常关键的点在于，在不能重复经过1条边的情况下，如果1个点它不是起点也不是终点，那你就要经过1条边走到这个点来，然后再沿着另外1条边走出去。这样一进一出，就走了2条边了。所以，如果1个点它既不是起点也不是终点，那么它发出的边一定是偶数条。只有起点和终点才可能是奇数条。

这样我们再看这张图，图里所有的4个点发出的边都是奇数条，它们不可能同时作为起点或终点。所以根据刚才的分析你就知道，不可能一次不重复地把这7条边都走一遍。

这就是一个把实际生活问题抽象成几何问题再去分析解决的例子。但这个几何问题和我们中学学习的几何问题不一样。

不一样在哪呢？在这个图里，每条边有多长、每两个边间的夹角是多大，其实并不重要。真正重要的是每个点间到底连了几条边，它们是怎么连的。也就是说，我们关注的是这个图形间各个部分相对的位置关系。

可以说，这种研究几何图形之间各部分相对位置关系的几何学，在欧拉那个时代开始就慢慢发展起来了。

又过了100多年之后，这种研究已经非常广泛了，大家觉得有必要给这门学科起个名字。于是到了1847年，德国数学家利斯廷就用两个希腊语词根拼凑出来了单词，叫作“topology”。

这两个希腊语词根“τόπος”表示的是位置，“λóγος”表示的是关于什么的谈话。“topology”说的就是关于位置的谈话，也就是研究几何体间各个位置相对关系的一门数学。

就像前面说的，我们关注的是几何体或者空间的各个位置的相对关系。我允许这个东西做形变，只要这种形变既不撕开也不黏合，那么它的各个位置的相对关系就是不变的。我们管这种形变叫同胚。

这是一个马克杯，它可以同胚或者说形变成轮胎，我们叫环面。

这是一个玩具小牛，你可以想象把它吹得胀起来，得到的就是球。所以我们可以说，这个小牛玩具和球面是同胚的。

球面和环面是不同胚的，这个大家在直觉上就可以感觉出来。但是它们到底怎么样不同胚？它们性质又会有什么样的差异呢？这个就是我们拓扑学关心的问题。

那下边，我们就举几个例子，来看一下球面和环面到底有什么差别。

为什么人人有发旋？

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第一个例子有一个非常形象的名字，叫毛球定理。这个定理的数学表述是这样的：球面上的任何连续向量场必然存在一个零点。

这个概念非常好理解。什么叫向量？就是有一个点，然后画个箭头，这就叫一个向量。那我现在把这个向量画在球面上，意思就是说，我这个向量要贴着球面画，或者说跟球面相切着画就可以了。

▲图片来源：https://www.scientificamerican.com/article/ maths-hairy-ball- theorem-has-surprising-implications/

我在每个点都画一个向量，就可以得到一个叫向量场的东西。我们希望这个向量场的改变不要太剧烈，每个点跟它附近的点的向量箭头的方向和大小都不能突变，这样的向量场就叫连续向量场。我们日常生活中很多东西的改变都是连续的，这个也很好理解。

有了这样一个要求之后，你就可以尝试在球面上去画这么一个向量场，在每个点画个箭头，最后你会发现，你画来画去总是到了某个点就没法画了。你要想使这个点和周围的向量保持向量场的连续改变，就只能画0，只能让这个向量值是0。

▲图片来源：https://www.scientificamerican.com/article/ maths-hairy-ball-theore m-has-surprising-implications/

这个现象并不是因为我们太笨了画不出来，而是因为背后有球面拓扑的阻碍，它阻碍了你画出这么一个处处非零的连续向量场。所以这个定理就是说，球面上的任何连续向量场必然存在一个零点。

那为什么叫毛球定理呢？有一个非常形象的解释。你可以想象一个球上每个点有一根头发，要把这些头发梳理到球面上，就得到了一个类似于向量的东西。

我希望把头发连续地梳在这个球的表面上，但最后会发现，不管怎么梳，总是在某些点上没有办法把头发梳下去，使得它和它附近的头发连续改变。

这件事情在日常生活中一点也不稀奇，就像我们每个人头发都会有旋，可能有的人有一个旋，有人有两个旋，但无论如何，这个旋上的头发怎么梳的话都会和附近的头发有冲突。

这就是毛球定理，在我们日常生活中大家都有所体验。而它背后的原理，就是因为这样一个向量场必然存在零点。

我们前面说，我们想知道球面和环面到底有什么差别。那么，环面上有没有“毛环定理”？是不是在这个环面上放一个向量场，它也总是有零点呢？

▲图片来源：http://www.rdrop.com/

其实，只要去动手实验一下就会发现。图上画了两种方式，结果都是在环面上能够存在一个处处非零的向量场。绿色箭头是沿着环的纬线方向画的，我在每一个纬线方向上都可以放一个箭头，这个箭头沿着圆的方向画下去就可以了，它总是处处非零的。

另外，我也可以沿着圆的经线方向去画箭头。紫色箭头就是沿着圆的经线去画，这样也可以处处非零地画下去。

所以我们看到，从向量场角度来说，球面和环面是很不一样的，球面上的向量场总是要有零点的，而环面上的向量场不一定有零点，所以它们在拓扑上是不一样的。

反直觉，但却是必然存在的

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接下来我再举两个生活中的现象，大家先想想，你直觉上认为它对还是不对，然后我再给一个数学上的解释。

第一个现象是这样的。地球表面每个点的大气都会有一个气温和一个气压。在任何一个时刻，地球表面都会存在对径的两个点，这两个点的气温也相同，气压也相同。

对径的两个点就是说，每个点穿过地球球心在对面那个点。比如说南极的对径点就是北极，北京的对径点在地球那边应该是阿根廷的某个地方。

大家可以根据直觉，感受一下这句话对不对。这听起来有点神奇，我怎么能够保证刚好对径两个点，它们的气温和气压都相同呢？

▲图片来源：Arturo Tozzi @ResearchGate

这背后其实也有一个数学定理，叫博苏克-乌拉姆定理（Brosuk-Ulam定理）。这个定理是说，从球面到平面的连续映射，一定会把一对对径点映到同一个点。

我解释一下什么叫作把球面给映到平面，其实也很好理解，就是把这个球面给压平、摊平。连续映射就要求说压的时候不要把球面撕开，它就是连续的。所以，这个定理就是说，不管我把这球面用什么方式压到平面，总会存在一对对径点，它们的像是同一个点。

所以再回到我们刚才说的关于气温和气压的问题，我们可以把地球表面看成球面。在理想情况下，大气的气温和气压总是连续变化的，也就是说每个点跟它附近点的气温、气压不会差太多。

这样的话，我把气温和气压这两个数看成两个实数，它们就在平面上标定了一个点。那么，这一对气温和气压其实就是从球面到平面的一个连续映射。根据博苏克-乌拉姆定理，我就知道，一定存在一对对径点，它们的气温相同、气压也相同。

这听起来非常神奇，但实际上它是有根据的，它是球面拓扑的一个反映。

第二个日常生活中的例子是这样的，左图是校园，右边是一张校园地图。如果我把这个校园地图放在校园内随便某一处地面上，那地图上一定存在一个点，和它所在地面上真实的那个点，恰好是同一个点。

大家可以想一下，你会不会相信这件事情呢？

我要告诉大家，这件事情它一定会发生。这是因为我们有这个定理做保证——布劳威尔不动点定理。

▲图片来源：www.math.hmc.edu/funmath

它说的是，从圆盘到自身的连续映射，必定会存在一个不动点。什么叫不动点？比如图上这个点a，它和它的像点f(a)是同一个点，也就是说f(a)等于a。

我们从这个定理回到地图的问题。我把校园地图放到校园的地上，其实就是做了一个从校园本身到自身的一个连续映射。比如黄色的就是真实的校园，右边这个像就是地图。我映射过来以后就是一个连续映射。

那根据布劳威尔不动点定理，这个连续映射一定有不动点。也就是说，在地图上所标示的点和它在地面上所对应那个点恰好是同一个点。

如果没有这个定理的话，你就会觉得这件事好像很神奇，因为确实不太好想象。但有了这个定理之后，我们就会理解，它是必然会发生的。

大家都学过的拓扑学

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我们前面讲的球面也好、环面也好、圆盘也好，这些定理其实都是拓扑上的一些定性的分析。但数学终究是一门定量的学科，所以我们希望能够引入一些不变量来刻画这些不同的球面、环面。

这些拓扑上的空间或几何体中最经典的一个数，就叫作欧拉示性数。我们来简单地给大家介绍一下欧拉示性数是怎么来定义的。

右下角这张图上有个曲面，我把这个曲面看成由很多多边形拼成的，比如把这个曲面给切成很多三角形。我们数一数到底拼了多少个顶点、多少条边、多少个面，再做计算。你可能会说，我有不同的方式把这个曲面切割成不同的多边形，如果用不同的方式去切，你的顶点个数、边的条数还有面的个数可能都是不一样的。

但是神奇的地方在于，一旦你把它们组合起来，用顶点数减去边的数加上面的数，你会发现它总会得出来同样的一个数，这个数就叫作曲面的欧拉示性数。

我们用一个例子来看下球面的欧拉示性数是多少。这里画了三个几何体，分别是正四面体、正方体和正八面体。大家很容易想象它们的表面都是和球面同胚的，也就是你可以把正方体或者正八面体吹胀吹鼓，变成一个球。

接下来，我们可以就可以按刚才说的方式来计算这个球面的欧拉示性数。最左边这个正四面体有4个顶点、6条边和4个面，它的欧拉示性数等于2。

接着我们再算第2个。这个正方体有8个顶点、12条边和6个面，计算结果仍然是2。正八面体的结果也是2。这是非常简单的计算，我们从中可以验证出，球面的欧拉示性数等于2。

这其实就是大家中学里听到的欧拉公式。欧拉公式在中学里面怎么表述呢？它是说，对于空间中的凸多面体的表面，总是有顶点个数减去边的个数加上面的个数等于2。其实，这是因为空间中凸多面体其实和球面是同胚的。

所以，其实大家中学时期都学了一点拓扑学的定理。大家也可以尝试计算下，环面的欧拉示性数是多少。（小编：欢迎各位在留言区回答哦！）

物理世界中的拓扑

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我们前面举的例子，都是说有关拓扑学它本身所研究的对象。但拓扑不仅仅是一个数学学科，拓扑现象其实在我们这个所处的物理世界中也是有很重要应用的。

▲图片来源：https://www.aip.org/ science-news/nobel/physics2016

比如2016年的诺贝尔物理学奖，获奖的工作其实就是关于拓扑物质态的工作。

▲图片来源：https://www.nobelprize.org/

这是诺贝尔物理学奖官网上的一张介绍他们的工作的图，他们研究的是物质导电性的改变。我们知道，通常情况下导电性是连续变化的，但在这种拓扑物态里面，这个电子的导电性是离散变化的。为什么会发生这种现象呢？它的背后原因在于，每一个电子导电性的台阶对应的是一个拓扑的空间。最低的空间对应的是一个球面，第二级空间对应的一个环面，第三层空间对应的是一个双环面，像一个眼镜的表面。

所以我们会看到，在物质物态里边，拓扑现象也会出现，拓扑也是一种本质存在的东西。

我们前面讲了球面、讲了曲面，这些都是二维对象。我们拓扑学家或者几何学家也会关心一些高维的拓扑对象，这里边最有名的大家可能听说过，就是一个叫卡拉比-丘流形的东西。